Malla Curricular — Matemáticas (Cálculo) | Grado 11° | KREADU School | Periodo 2

Información General

Área: Matemáticas (Cálculo)
Grado: 11° (Ciclo 5: Educación Media)
Intensidad horaria semanal: 4 horas/semana
Año lectivo: 2026
Enfoque pedagógico institucional: Educación Creadora (Énfasis en Investigación y Desarrollo — I+D)
Sistema de Evaluación: Cualitativa (Pilares Cognitivo, Personal y Social)

Propósito de Formación del Área

El grado once es la cumbre del bachillerato. El foco es el Cálculo Diferencial y una introducción al Cálculo Integral: el estudiante supera la visión estática del álgebra para comprender las matemáticas del movimiento continuo y la variación instantánea, consolidando su preparación para Saber 11 y la educación superior en carreras STEM.

Articulación Vertical

Viene de (grado anterior): Retoma el concepto de función, la trigonometría y la idea intuitiva de razón de cambio de décimo (Consultar: [[_indice-MAT-G10]]).
Proyecta a (educación superior): El cálculo diferencial e integral es el filtro principal de las carreras STEM; la optimización es clave para Economía, Ingeniería y Ciencias Naturales (Consultar: [[EBC-MAT-CICLO5]]).

Período 2 — "Cálculo Diferencial: La Derivada"

(Semanas 14 a 25 — Segunda mitad de Unidad 2 + Unidad 3 de la [[SECUENCIA-MAT-G11]])

Dimensiones de Formación Integral 2026

Dimensión Ancla: [[DIM-COGNITIVA]] — Comprende la matematización del cambio instantáneo.
Dimensión Transversal: [[DIM-HISTORICA-MEMORIA]] — Valora el debate histórico entre Newton y Leibniz.

Derechos Básicos de Aprendizaje / Desempeños

ID	Enunciado oficial (DBA V2, MEN 2017)	Alcance en este período
[[DBA-MAT-G11-05]]	Interpreta la noción de derivada como razón de cambio y como valor de la pendiente de la tangente a una curva y desarrolla métodos para hallar las derivadas de algunas funciones básicas en contextos matemáticos y extraescolares.	Concepto de derivada mediante el límite.
[[DBA-MAT-G11-08]]	Encuentra derivadas de funciones, reconoce sus propiedades y las utiliza para resolver problemas.	Reglas de derivación algorítmica.
[[DBA-MAT-G11-03]]	Utiliza instrumentos, unidades de medida, sus relaciones y la noción de derivada como razón de cambio, para resolver problemas, estimar cantidades y juzgar la pertinencia de las soluciones de acuerdo al contexto.	Aplicaciones de la derivada en Física y Economía.

Contenidos y Ejes Temáticos

Tasa de Variación Media (secante) vs. instantánea (tangente).
Definición formal de la derivada mediante el límite.
Reglas básicas de derivación (potencia, constante, suma, resta).
Reglas avanzadas: producto, cociente y cadena.
Aplicaciones en Física (velocidad, aceleración) y Economía (costo/ingreso marginal).

Planeación y Desglose Semanal de Clases

Semana 14: La tasa de variación media: la recta secante

Horas sugeridas: 4-5 horas semanales.
Tema de la clase: Concepto de tasa de variación media de una función e inclinación de la secante.

🧠 Aprendizaje (Objetivo Macro): Calcular e interpretar la tasa de variación media de una función en un intervalo, relacionándola con la pendiente de la recta secante.

📖 Concepto Teórico: * Tasa de Variación Media (TVM): cociente entre la diferencia de las variables dependientes e independientes ($TVM = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$). * Recta Secante: línea recta que corta a una curva geométrica en dos puntos coordenados diferentes. * Pendiente de la Secante: inclinación de la recta que representa el promedio de cambio en el intervalo.

🚀 Espacio Creador (Transferencia): Velocidad Promedio de Viaje: Dada la función de posición $s(t) = 3t^2 + 5t$ metros, calcule la velocidad promedio del bus en el intervalo de tiempo de $t=1$ a $t=4$ segundos. (20 minutos).

✅ Evaluación (Valoración): Control del Taller de TVM. Resolución individual del cálculo de la TVM para una función cuadrática y una racional.

🔗 Enlaces Externos y Caja de Herramientas: * 🖥️ Abrir Presentación de la Clase (HTML) * Video: La tasa de variación media: la recta secante (YouTube)

🧩 Andamiaje y Ajustes Razonables (DUA): Ofrecer plantillas con celdas paso a paso para organizar los cálculos de $f(b)$ y $f(a)$ de forma ordenada.

Semana 15: La tasa de variación instantánea: el problema de la tangente

Horas sugeridas: 4-5 horas semanales.
Tema de la clase: Noción de la velocidad en un instante y aproximación a la recta tangente.

🧠 Aprendizaje (Objetivo Macro): Interpretar la tasa de variación instantánea como el límite de la tasa de variación media cuando el intervalo tiende a cero.

📖 Concepto Teórico: * Tasa de Variación Instantánea (TVI): el límite de la TVM a medida que el cambio horizontal $h$ se aproxima a cero. * Recta Tangente: recta que toca a la curva en un solo punto y representa su dirección instantánea. * Pendiente de la Tangente: la pendiente de la recta límite, concepto central de la derivada.

🚀 Espacio Creador (Transferencia): Aproximación al Instante: Calcule la pendiente de la secante de la función $f(x)=x^2$ en el punto $(1,1)$ usando intervalos de ancho 0.1, 0.01 y 0.001. (25 minutos).

✅ Evaluación (Valoración): Control de Tendencia. Taller en parejas. Los estudiantes exponen a qué valor entero se aproxima la pendiente de la secante al reducir el intervalo.

🔗 Enlaces Externos y Caja de Herramientas: * 🖥️ Abrir Presentación de la Clase (HTML) * Video: La tasa de variación instantánea: el problema de la tangente (YouTube)

🧩 Andamiaje y Ajustes Razonables (DUA): Utilizar programas interactivos con deslizadores interactivos en GeoGebra para ver cómo la secante se convierte en tangente.

Semana 16: Definición formal de derivada por límite

Horas sugeridas: 4-5 horas semanales.
Tema de la clase: La definición formal de la derivada mediante el límite del cociente de Newton.

🧠 Aprendizaje (Objetivo Macro): Calcular la derivada de funciones polinómicas sencillas utilizando la definición formal de límite de cociente de diferencias.

📖 Concepto Teórico: * Cociente de Diferencias de Newton: $\frac{f(x+h) - f(x)}{h}$, expresión de cambio en una curva. * Definición Formal de Derivada: $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$. * Notación: las formas simbólicas representadas ($df/dx$ e $f'(x)$).

🚀 Espacio Creador (Transferencia): Despeje del Límite de Newton: Encuentre la derivada de la función $f(x) = 2x^2 + 3x$ aplicando la definición formal por el límite cuando $h \to 0$. (30 minutos).

✅ Evaluación (Valoración): Prueba de Límites. Entrega individual de la derivada calculada por definición formal de una función cuadrática sencilla.

🔗 Enlaces Externos y Caja de Herramientas: * 🖥️ Abrir Presentación de la Clase (HTML) * Video: Definición formal de derivada por límite (YouTube)

🧩 Andamiaje y Ajustes Razonables (DUA): Permitir el uso de software algebraico de verificación para que el estudiante compare su álgebra paso a paso.

Semana 17: Interpretación geométrica de la derivada

Horas sugeridas: 4-5 horas semanales.
Tema de la clase: Significado visual y geométrico de la derivada en diferentes curvas.

🧠 Aprendizaje (Objetivo Macro): Asociar el valor numérico de la derivada de una función en un punto con el comportamiento de la recta tangente.

📖 Concepto Teórico: * Pendiente Nula ($f'(c) = 0$): recta tangente horizontal, indicadora de máximos o mínimos. * Pendiente Positiva vs Negativa: indica que la función original está creciendo o decreciendo en ese punto. * Diferenciabilidad: condiciones geométricas bajo las cuales una función posee derivada (curvas suaves).

🚀 Espacio Creador (Transferencia): La Tangente de la Rampa: Halle la ecuación de la recta tangente a la curva $f(x)=x^2$ en el punto $(2,4)$ y grafíquelas. (25 minutos).

✅ Evaluación (Valoración): Control del Gráfico de Tangente. El docente revisará el correcto trazado de la recta tangente. Su inclinación debe coincidir exactamente con el valor $m=4$.

🔗 Enlaces Externos y Caja de Herramientas: * 🖥️ Abrir Presentación de la Clase (HTML) * Video: Interpretación geométrica de la derivada (YouTube)

🧩 Andamiaje y Ajustes Razonables (DUA): Utilizar hilos y modelos impresos en cartón de curvas suaves para trazar de forma física las tangentes aproximadas.

Semana 18: Reglas de derivación básicas: potencia y suma

Horas sugeridas: 4-5 horas semanales.
Tema de la clase: Las fórmulas algorítmicas básicas para derivar funciones polinómicas.

🧠 Aprendizaje (Objetivo Macro): Calcular derivadas de funciones polinómicas utilizando las reglas de la potencia, constante, suma y resta.

📖 Concepto Teórico: * Regla de la Potencia: $\frac{d}{dx}[x^n] = n x^{n-1}$. * Derivada de la Constante: $\frac{d}{dx}[c] = 0$. * Regla de la Suma y Resta: la derivada de la suma es igual a la suma de las derivadas.

🚀 Espacio Creador (Transferencia): Velocidad de Derivación: Derive el polinomio $f(x) = 5x^4 - 3x^3 + 2x^2 - 7x + 10$ aplicando las reglas directas. (20 minutos).

✅ Evaluación (Valoración): Desafío de Minitableros. Resolución rápida de derivadas polinómicas dictadas por el docente. Los estudiantes muestran el resultado en tableros.

🔗 Enlaces Externos y Caja de Herramientas: * 🖥️ Abrir Presentación de la Clase (HTML) * Video: Reglas de derivación básicas: potencia y suma (YouTube)

🧩 Andamiaje y Ajustes Razonables (DUA): Facilitar una ficha plastificada de fórmulas básicas de derivación para uso constante en el pupitre.

Semana 19: Derivación del producto de funciones

Horas sugeridas: 4-5 horas semanales.
Tema de la clase: Regla del producto y su aplicación algebraica.

🧠 Aprendizaje (Objetivo Macro): Calcular la derivada del producto de dos funciones aplicando la regla correspondiente y simplificando el resultado.

📖 Concepto Teórico: * Regla del Producto: $\frac{d}{dx}[u \cdot v] = u' \cdot v + u \cdot v'$. * Demostración: justificación lógica basada en el límite. * Simplificación: expandir y agrupar términos semejantes resultantes.

🚀 Espacio Creador (Transferencia): El Producto de Funciones: Halle la derivada de la función compleja $f(x) = (3x^2 - 2x)(4x^3 + 5x)$ aplicando la regla de producto y simplifique. (25 minutos).

✅ Evaluación (Valoración): Control del Taller de Producto. Taller individual de 3 ejercicios de derivación de producto.

🔗 Enlaces Externos y Caja de Herramientas: * 🖥️ Abrir Presentación de la Clase (HTML) * Video: Derivación del producto de funciones (YouTube)

🧩 Andamiaje y Ajustes Razonables (DUA): Esquematizar la fórmula del producto con cajas de colores que guíen el orden de los términos a derivar.

Semana 20: Derivación del cociente de funciones

Horas sugeridas: 4-5 horas semanales.
Tema de la clase: Regla del cociente de funciones racionales y su aplicación.

🧠 Aprendizaje (Objetivo Macro): Calcular la derivada de funciones racionales aplicando la regla del cociente y operando el resultado.

📖 Concepto Teórico: * Regla del Cociente: $\frac{d}{dx}[u / v] = \frac{u' \cdot v - u \cdot v'}{v^2}$. * Denominador: conservar el término del denominador al cuadrado sin necesidad de expandirlo. * Signo de Resta: tener cuidado en la aplicación del signo negativo en la fórmula.

🚀 Espacio Creador (Transferencia): El Cociente de Funciones: Halle la derivada de la función racional $f(x) = \frac{2x^2 + 1}{3x - 5}$ aplicando la regla de cociente y simplifique. (25 minutos).

✅ Evaluación (Valoración): Corrección Mutua de Cocientes. Los estudiantes intercambian sus libretas de apuntes y verifican si aplicaron el signo menos en el numerador.

🔗 Enlaces Externos y Caja de Herramientas: * 🖥️ Abrir Presentación de la Clase (HTML) * Video: Derivación del cociente de funciones (YouTube)

🧩 Andamiaje y Ajustes Razonables (DUA): Utilizar plantillas estructuradas de fracciones gigantes para que los estudiantes llenen los bloques correspondientes.

Semana 21: La Regla de la Cadena y funciones compuestas

Horas sugeridas: 4-5 horas semanales.
Tema de la clase: Derivación de funciones compuestas o funciones dentro de otras.

🧠 Aprendizaje (Objetivo Macro): Calcular la derivada de funciones compuestas aplicando la Regla de la Cadena.

📖 Concepto Teórico: * Función Compuesta: función de la forma $f(g(x))$. * Regla de la Cadena: $\frac{d}{dx}[f(g(x))] = f'(g(x)) \cdot g'(x)$. * Notación Diferencial: $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$.

🚀 Espacio Creador (Transferencia): Derivación de la Cadena: Halle la derivada de la función compuesta $f(x) = (4x^2 - 3x + 2)^5$ aplicando la regla de la cadena. (25 minutos).

✅ Evaluación (Valoración): Control del Taller de la Cadena. Taller de 3 problemas rápidos en parejas. Se evalúa el correcto cálculo de la derivada interna.

🔗 Enlaces Externos y Caja de Herramientas: * 🖥️ Abrir Presentación de la Clase (HTML) * Video: La Regla de la Cadena y funciones compuestas (YouTube)

🧩 Andamiaje y Ajustes Razonables (DUA): Utilizar la metáfora visual de las 'muñecas rusas' para ir derivando de afuera hacia adentro.

Semana 22: Aplicación física de la derivada: cinemática

Horas sugeridas: 4-5 horas semanales.
Tema de la clase: Relación entre posición, velocidad y aceleración de un cuerpo en movimiento.

🧠 Aprendizaje (Objetivo Macro): Resolver problemas reales de física mecánica aplicando la derivada para hallar la velocidad y aceleración instantáneas.

📖 Concepto Teórico: * Función de Posición ($s(t)$): la coordenada del móvil con respecto a un origen. * Velocidad Instantánea ($v(t)$): la primera derivada de la posición ($v(t) = s'(t)$). * Aceleración Instantánea ($a(t)$): la segunda derivada de la posición ($a(t) = v'(t) = s''(t)$).

🚀 Espacio Creador (Transferencia): La Aceleración del Móvil: Dada la función de posición $s(t) = 2t^3 - 9t^2 + 12t$ metros, halle la velocidad y la aceleración del auto en $t = 3$ segundos. (25 minutos).

✅ Evaluación (Valoración): Informe de Cinemática. Entrega individual del reporte con los cálculos de velocidad y aceleración e interpretación del movimiento.

🔗 Enlaces Externos y Caja de Herramientas: * 🖥️ Abrir Presentación de la Clase (HTML) * Video: Aplicación física de la derivada: cinemática (YouTube)

🧩 Andamiaje y Ajustes Razonables (DUA): Modelar el movimiento mediante videos explicativos cortos y animaciones físicas de carritos en rieles.

Semana 23: Aplicación económica: costo e ingreso marginal

Horas sugeridas: 4-5 horas semanales.
Tema de la clase: Conceptos marginales en economía a través de la derivada.

🧠 Aprendizaje (Objetivo Macro): Resolver problemas de optimización y economía caucana calculando costos e ingresos marginales con derivadas.

📖 Concepto Teórico: * Función de Costo ($C(x)$) e Ingreso ($I(x)$): gastos e ingresos por fabricar y vender $x$ unidades. * Costo Marginal ($C'(x)$): la tasa de cambio del costo al fabricar una unidad adicional. * Optimización: punto crítico donde se maximiza la utilidad ($I'(x) = C'(x)$).

🚀 Espacio Creador (Transferencia): El Costo Marginal de Producción: Dada la función de costo total $C(x) = 0.05x^2 + 20x + 5000$ pesos, calcule el costo marginal exacto de fabricar la unidad 100. (25 minutos).

✅ Evaluación (Valoración): Taller de Análisis Económico. Taller cooperativo en parejas resolviendo problemas de maximización del ingreso.

🔗 Enlaces Externos y Caja de Herramientas: * 🖥️ Abrir Presentación de la Clase (HTML) * Video: Aplicación económica: costo e ingreso marginal (YouTube)

🧩 Andamiaje y Ajustes Razonables (DUA): Ofrecer gráficos y hojas de cálculo con datos de producción para asimilación de la utilidad marginal.

Semana 24: Trazado de curvas: máximos, mínimos y puntos de inflexión

Horas sugeridas: 4-5 horas semanales.
Tema de la clase: El uso del criterio de la primera y segunda derivada para analizar curvas.

🧠 Aprendizaje (Objetivo Macro): Analiza y traza el gráfico de funciones no lineales localizando máximos, mínimos y puntos de inflexión.

📖 Concepto Teórico: * Criterio de la Primera Derivada: encontrar puntos críticos ($f'(c)=0$) y determinar si son máximos o mínimos. * Concavidad y Segunda Derivada: si $f''(x) > 0$ la curva es cóncava hacia arriba; si $f''(x) < 0$ es cóncava hacia abajo. * Punto de Inflexión: punto donde la curva cambia de concavidad ($f''(c) = 0$).

🚀 Espacio Creador (Transferencia): El Análisis del Perfil: Dada la función cúbica $f(x) = x^3 - 3x^2$, halle sus máximos y mínimos, sus puntos de inflexión y grafíquela en el plano. (30 minutos).

✅ Evaluación (Valoración): Control del Gráfico de Curva. El docente revisará las libretas, corroborando la correcta rotulación de las coordenadas de máximos, mínimos y concavidad.

🔗 Enlaces Externos y Caja de Herramientas: * 🖥️ Abrir Presentación de la Clase (HTML) * Video: Trazado de curvas: máximos, mínimos y puntos de inflexión (YouTube)

🧩 Andamiaje y Ajustes Razonables (DUA): Utilizar tableros cuadriculados táctiles y elásticos de colores para representar los cambios de concavidad.

Semana 25: Cierre de período: Taller de optimización I+D

Horas sugeridas: 4-5 horas semanales.
Tema de la clase: Sustentación sumativa del proyecto I+D y portafolios.

🧠 Aprendizaje (Objetivo Macro): Sustentar el proyecto final de I+D resolviendo un problema complejo de optimización usando derivadas.

📖 Concepto Teórico: * Síntesis de Cálculo: integración de límites, derivadas, reglas y optimización en problemas reales. * Sustentación Científica: justificación lógica y defensa formal de las soluciones marginales. * Evaluación Sumativa: matriz del SIEE (Saber, Saber Hacer, Ser) y entrega del portafolio.

🚀 Espacio Creador (Transferencia): Foro de Optimización I+D: Presente su ponencia explicando cómo la derivada permitió encontrar la dimensión óptima de su diseño. (45 minutos).

✅ Evaluación (Valoración): Evaluación Final Cualitativa. Llenado de rúbrica cualitativa de ponencia final de periodo, entrega del portafolio y autoevaluación grupal.

🔗 Enlaces Externos y Caja de Herramientas: * 🖥️ Abrir Presentación de la Clase (HTML) * Video: Cierre de período: Taller de optimización I+D (YouTube)

🧩 Andamiaje y Ajustes Razonables (DUA): Ofrecer múltiples formatos de entrega: ponencia en vivo, póster académico digital o video grabado explicativo.

Contexto y Aplicabilidad Real (Comunitaria/Familiar)

Los estudiantes analizan el costo marginal de producción de un pequeño negocio familiar en Popayán usando derivadas para decidir cuántas unidades producir de forma óptima.

Proyecto de Investigación y Desarrollo (I+D) — Educación Creadora

"El Costo Marginal de mi Negocio Familiar" El estudiante modela con una función polinómica el costo o ingreso de un negocio real de su familia, calcula la derivada correspondiente y explica qué significa el costo o ingreso marginal para la toma de decisiones del negocio.

Estrategias Didácticas Sugeridas

"La velocidad de la fotografía": derivada como velocidad instantánea.
"Desarmando matrioshkas" para la regla de la cadena.
"Consultores empresariales": costo e ingreso marginal aplicado a un caso real.

Recursos

Calculadora científica, GeoGebra, matrioshkas o muñecas anidadas (recurso didáctico), casos de negocio.

Criterios de Evaluación Cualitativa (SIEE KREADU School)

Dimensión	Pilar Cognitivo (Saber / Conceptos)	Pilar Social (Saber Hacer / Cooperación)	Pilar Personal (Ser / Autonomía y Autoestima)
Ancla: [[DIM-COGNITIVA]]	Relaciona la derivada con la pendiente de la recta tangente.	Explica su procedimiento de derivación a un compañero.	Transita con fluidez entre representación geométrica y algebraica.
Transversal: [[DIM-HISTORICA-MEMORIA]]	Conoce la definición formal de derivada mediante límites.	Presenta con claridad el análisis de su negocio familiar.	Admira el desarrollo del pensamiento humano en el cálculo.

Conexión Horizontal (Articulación entre Áreas)

Física: Las aplicaciones cinemáticas de la derivada (velocidad, aceleración) se articulan directamente con Física G11.
Ciencias Políticas y Económicas: La optimización de costos e ingresos se conecta con la toma de decisiones económicas.
Proyecto (I+D): El proyecto de optimización del entorno cierra el ciclo de Educación Creadora aplicando el máximo nivel de abstracción matemática a un problema real de la comunidad.

Nota de Inclusión (Diseño Universal para el Aprendizaje - DUA)

Múltiples formas de representación: GeoGebra 3D, videos de Cálculo, guías con ejemplos resueltos paso a paso.
Múltiples formas de acción y expresión: Opción de sustentación oral o informe escrito para el proyecto final de optimización.
Múltiples formas de implicación: Libertad de elegir el problema de optimización según intereses vocacionales del estudiante (ingeniería, economía, ciencias).